Môn Toán Lớp 9: Cho tam giác ABC phân giác trong AD .Đường tròn (O) đi qua A tiếp xúc với BC tại D.Đường tròn (O) cắt AB,Ac tương ứng tạ M và N.Chứng

(O) đi qua A tiếp xúc với BC tại D

=>BD và CD là tiếp tuyến của (O)

=>$\begin{cases} \widehat{BDM}=\dfrac{1}{2}\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown}\\\widehat{CDN}=\dfrac{1}{2}\mathop{DN}\limits^{\displaystyle\frown} \end{cases}($góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung$)$

Ta có: $\begin{cases} \widehat{BAD}=\dfrac{1}{2}\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown}\\\widehat{CAD}=\dfrac{1}{2}\mathop{DN}\limits^{\displaystyle\frown} \end{cases}($góc nội tiếp$)$

Xét \triangleABD và \triangleDBM có:

\hat{BAD}=\hat{BDM}(=1/2$\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown})$

\hat{B} chung

=>$\triangle ABD\backsim\triangle DBM(g.g)$

=>(AB)/(BD)=(BD)/(BM)

=>AB.BM=BD^2(1)

Xét \triangleACD và \triangleDCN có:

\hat{CAD}=\hat{CDN}(=1/2$\mathop{DN}\limits^{\displaystyle\frown})$

\hat{C} chung

=>$\triangle ACD\backsim\triangle DCN(g.g)$

=>(AC)/(CD)=(CD)/(CN)

=>AC.CN=CD^2(2)

Từ (1) và (2)=>(AB.BM)/(AC.CN)=(BD^2)/(CD^2)(3)

AD là phân giác của \triangleABC

=>(AB)/(AC)=(BD)/(CD)<=>(AB^2)/(AC^2)=(BD^2)/(CD^2)(4)

Từ (3) và (4)=>(AB.BM)/(AC.CN)=(AB^2)/(AC^2)

                    <=>(BM)/(CN)=(AB)/(AC)

                    =>(BM)/(AB)=(CN)/(AC)

=>$MN\parallel BC($định lí Ta-lét đảo$)$