Môn Toán Lớp 12: Cho số phức `z` thỏa mãn `(z + 6i)(\overline{z} – 6)` là số thuần ảo. Khi đó `|z – 3 + 3i|` bằng?

Giải đáp: $3\sqrt 2 $

 

Lời giải và giải thích chi tiết:

$\begin{array}{l}
Gọi:z = a + bi\\
 \Leftrightarrow \overline z  = a – bi\\
 \Leftrightarrow \left( {z + 6i} \right).\left( {\overline z  – 6} \right)\\
 = \left( {a + bi + 6i} \right).\left( {a – bi – 6} \right)\\
 = \left( {a + \left( {b + 6} \right).i} \right).\left( {a – 6 – bi} \right)\\
 = a.\left( {a – 6} \right) – a.bi + \left( {a – 6} \right).\left( {b + 6} \right).i\\
 – \left( {b + 6} \right).b.{i^2}\\
 = {a^2} – 6a + b\left( {b + 6} \right) + \left[ {\left( {a – 6} \right)\left( {b + 6} \right) – ab} \right].i\\
 = {a^2} – 6a + {b^2} + 6b + \left[ {\left( {a – 6} \right)\left( {b + 6} \right) – ab} \right].i
\end{array}$

Số trên là số thuần ảo thì:

$\begin{array}{l}
{a^2} – 6a + {b^2} + 6b = 0\\
 \Leftrightarrow {a^2} – 6a + 9 + {b^2} + 6b + 9 = 18\\
 \Leftrightarrow {\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = 18\\
\left| {z – 3 + 3i} \right|\\
 = \left| {a + bi – 3 + 3i} \right|\\
 = \sqrt {{{\left( {a – 3} \right)}^2} + {{\left( {b + 3} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {18} \\
 = 3\sqrt 2 
\end{array}$