Môn Toán Lớp 8: Tìm n thuộc n sao để `n^4 + 4` là 1 số nguyên tố

Giải đáp:

 

Lời giải và giải thích chi tiết

Đặt A = n^4 + 4

Ta có: A = n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 – 4n^2 + 4

             = (n^4 + 4n^2 + 4) – 4n^2 = (n^2 + 2)^2 – (2n)^2

             = (n^2 + 2 – 2n)(n^2 + 2 + 2n)

Do A là số nguyên tố (gt) nên

\(\left[ \begin{array}{l}n^2 + 2 – 2n = 1\\n^2 + 2 + 2n = 1\end{array} \right.\)

+ TH1: Nếu n^2 + 2 – 2n = 1 → n^2 – 2n = -1 ↔ n(n-2) = -1 

→ n ∈ N nên n ∈ Ư(-1) = 1 → n(n-2) = -1 ↔ 1(1-2) = -1 (TM)

  Do (n^2 + 2 – 2n)(n^2 + 2 + 2n) = A là 1 số nguyên tố

  Nên n^2 + 2 + 2n là 1 số nguyên tố

  Mà n = 1 → n^2 + 2 + 2n = 1^2 + 2 + 2 = 5 là 1 số nguyên tố

  → n = 1 (TM)
+ TH2: Nếu n^2 + 2 + 2n = 1  → n^2 + 2n = n(n+2) 1 – 2 = -1

  Theo gt, n ∈ N nên n ∈ Ư( -1) = 1 → n(n+2) = 1 ↔ 1(1+2) = 3 $\neq$  -1 (Loại)

Vậy: n = 1 thỏa mãn đề bài