Môn Toán Lớp 8: cho tam giác ABC nhọn. AA', BB', CC' là đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . chứng minh rằng `(HA')/(HA) (HB')/(HB) (HC')/(HC

Question

Môn Toán Lớp 8:  cho tam giác ABC nhọn. AA', BB', CC' là đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . chứng minh rằng `(HA')/(HA) + (HB')/(HB) +(HC')/(HC) >= 3/2`

maitrucloan · Answer

$S_{BHC}= dfrac{1}{2}.HA' . BC$ $S_{ABC}= dfrac{1}{2}.AA' . BC$ $=> dfrac{HA'}{AA'}= dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}$ $=>1+ dfrac{HA'}{HA}= dfrac{S_{HBC}}{S_{HAB}+S_{HAC}}+1$ $=> dfrac{HA'}{HA}= dfrac{S_{HBC}}{S_{HAB}+S_{HAC}}$ Tương tự : $ dfrac{HB'}{HB}= dfrac{S_{HAC}}{S_{HAB}+S_{HBC}}$ $ dfrac{HC'}{HC}= dfrac{S_{HAB}}{S_{HAC}+S_{HBC}}$ Đặt $x=S_{HAB},y=S_{HBC}, z=S_{HAC}$ $=>x,y,z>0$ Do đó : $ dfrac{HA'}{HA}+ dfrac{HB'}{HB}+ dfrac{HC'}{HC}= dfrac{x}{y+z}+ dfrac{y}{x+z}+ dfrac{z}{x+y}$ $= dfrac{x^2}{xy+xz}+ dfrac{y^2}{xy+yz}+ dfrac{z^2}{xz+yz}$ Áp dụng BĐT Cộng mẫu ta được: $ dfrac{HA'}{HA}+ dfrac{HB'}{HB}+ dfrac{HC'}{HC}>= dfrac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}$ Áp dụng BĐT phụ $a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac$ ta được: $xy+yz+xz=< x^2+y^2+z^2$ $=> 3(xy+yz+xz)=<(x+y+z)^2$ $=>xy+yz+xz=< dfrac{(x+y+z)^2}{3}$ $=> dfrac{HA'}{HA}+ dfrac{HB'}{HB}+ dfrac{HC'}{HC}>= dfrac{1}{ dfrac{2}{3}}= dfrac{3}{2}$

Viết một bình luận Hủy

Mầm Non Hương Sen

Môn Toán Lớp 8: cho tam giác ABC nhọn. AA’, BB’, CC’ là đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . chứng minh rằng `(HA’)/(HA) + (HB’)/(HB) +(HC’)/(HC

Viết một bình luận Hủy

Mầm Non Hương Sen