Môn Toán Lớp 8: Cho $ABC$ có diện tích $S$ và một điểm $P$ nằm trong tam giác. $a)$ Gọi $S_1, S_2, S_3$ lần lượt là diện tích của tam giác $PBC, PCA$

Question

8 Tháng Năm, 2023 Bởi

Môn Toán Lớp 8: Cho $ABC$ có diện tích $S$ và một điểm $P$ nằm trong tam giác.
$a)$ Gọi $S_1, S_2, S_3$ lần lượt là diện tích của tam giác $PBC, PCA$ và $PAB$. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $S_1^2, S_2^2, S_3^2$
$b)$ Gọi $P_1, P_2, P_3$ lần lượt là các điểm đối xứng của $P$ qua $BC, CA$ và $AB.$
Đường thẳng đi qua $P_1$ và song song $BC$ cắt $AB$ và $AC$ tại $B_1$ và $C_1$.
Đường thẳng đi qua $P_2$ và song song $CA$ cắt $BC$ và $BA$ tại $C_2$ và $A_2$.
Đường thẳng đi qua $P_3$ và song song $AB$ cắt $AC$ và $BC$ tại $A_3$ và $B_3$.
Hãy xác định vị trí của điểm $P$ để tổng diện tích ba hình thang $BCC_1B_1, CAA_2C_2$ và $ABB_3C_3$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
______________________________________________________________
Giúp mình phần $b)$ thôi cũng được nhé mình đang nghĩ đến hướng kẻ thêm các đường song song nhma có vẻ hơi dài mng có thể giúp mk lm theo hướng này hoặc hướng khác ngắn gọn hơn thì càng tốt ạ!

minhtuquynh · Answer

Kh&aacute; vắn tắt:   a,   Theo AM-GM c&oacute;:    (S_1^2 + S_2^2 ge 2S_1 S_2, S_2^2 +S_3^2 ge 2S_2 S_3,S_1^2 +S_3^2 ge 2S_1S_3   to S_1^2 +S_2^2+S_3^2 ge S_1 S_2 +S_2S_3 +S_1S_3   to 3(S_1^2 +S_2^2+S_3^2) ge (S_1+S_2+S_3)^2   to 3(S_1^2+S_2^2+S_3^2) ge 3S^2   to S_1^2+S_2^2+S_3^2 ge  dfrac{S^2}{3} )   Dấu '=' xảy ra khi:  (P ) l&agrave; trọng t&acirc;m  ( Delta ABC )   b,   Từ  (A ) kẻ  (AV in B_1C_1(V in B_1C_1) )   Qua  (P ) kẻ 1 đường thẳng  (//BC ) cắt  (AB,AC ) tại  (O_3,O_4 )   Qua  (P ) kẻ 1 đường thẳng  (//AB ) cắt  (AC,BC ) tại  (O,O_2 )   Qua  (P ) kẻ 1 đường thẳng  (//AC ) cắt  (AB,BC ) tại  (O_5,O_6 )   Gọi  (N ) l&agrave; giao của  (BC, AV to AN bot BC )   Gọi  (N_1 ) l&agrave; giao của  (PP_1, BC to PN_1 bot BC )    (VNN_1P_1 ) l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật n&ecirc;n  (NV=N_1P_1 )   Thấy:  ( Delta AB_1C_1 backsim  Delta ABC )    ( to dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}= left( dfrac{AV}{AN} right)^2   to  dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}= left( dfrac{AN+N_1P_1}{AN} right)^2   to  dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}= left(1+ dfrac{N_1P_1}{AN} right)^2   to S_{AB_1C_1}= left(1+ dfrac{N_1P_1}{AN} right)^2 S  S_{ABC}+S_{BB_1C_1C}=S_{AB_1C_1}   to S_{BB_1C_1C}=S_{AB_1C_1}-S_{ABC}= left(1+ dfrac{N_1P_1}{AN} right)^2S -S=S left[ left(1+ dfrac{N_1P_1}{AN} right)^2-1 right]=S left(1+ dfrac{2N_1P_1}{AN}+ dfrac{N_1P_1^2}{AN^2}-1 right)=S  left( dfrac{2N_1P_1}{AN}+ dfrac{N_1P_1^2}{AN^2} right) )   Thấy:  ( Delta PO_2O_6 backsim  Delta ABC )    ( to  dfrac{PO_2}{AB}= dfrac{P_1N_1}{AN} ) (Tỉ số đồng dạng bằng tỉ số đường cao)    ( to  dfrac{BO_3}{AB}= dfrac{N_1P_1}{AN}   to S_{BCC_1B_1}=S left( dfrac{2BO_3}{AB}+ dfrac{BO_3^2}{AB^2} right) )   Tương tự:  (S_{CAA_2C_2}=S left( dfrac{2AO_5}{AB}+ dfrac{AO_5^2}{AB^2} right) )    (S_{ABB_3C_3}=S left( dfrac{2O_3O_5}{AB}+ dfrac{O_3O_5^2}{AB^2} right)   to S_{BCC_1B_1}+S_{CAA_2C_2}+S_{ABB_3C_3}=S left(2+ dfrac{BO_3^2+O_3O_5^2+AO_5^2}{AB^2} right) )   Theo AM-GM c&oacute;:    (BO_3^2 + O_3O_5^2 ge 2BO_3 . O_3O_5, O_3O_5^2 + AO_5^2 ge 2 O_3O_5 . AO_5, BO_3^2 + AO_5^2 ge 2 BO_3 . AO_5   to BO_3^2 + O_3O_5^2 + AO_5^2 ge BO_3 . O_3O_5 + O_3O_5 . AO_5 +AO_5 . BO_3   to 3 (BO_3^2 +O_3O_5^2 +AO_5^2) ge AB^2   to S_{BCC_1B_1}+S_{CAA_2C_2}+S_{ABB_3C_3} ge S left(2+ dfrac{1}{3} right)= dfrac{7}{3}S )   Dấu '=' xảy ra khi:  (P ) l&agrave; trọng t&acirc;m  ( Delta ABC )

Viết một bình luận Hủy

Mầm Non Hương Sen